Phasenfehler

Das ist auch definitiv falsch! Viele glauben immer noch, daß Laufzeitdifferenzen zwischen den Stereosignalen die kleiner sind als der zeitliche Abstand zweier Samples nicht reproduzierbar sind. Man mache doch mal eine einfache Rechnung und multipliziere zwei Sinusfunktionen miteinander wobei die eine ein neben dem jomega noch einen Phasenwinkel im Argument stehen hat: Es zeigt sich, daß (entgegen Jens' Behauptung) der Phasenwinkel voll erhaltn bleibt.
Wir hatten vor einigen Monaten schon mal über genau dieses Problem diskutiert.
Der Irrtum ist auch darauf zurückzuführen, daß viele Leute den fatalen Fehler begehen, Zeitdifferenzenin Frequenzen umzurechnen. Das ist falsch und nochmals falsch.

MfG
Rainer

Und dann auf Analoggeräte schwören, die nichtmal beide Stereokanäle zeitlich exakt zueinander reproduzieren können...

Es müssen 2 Stützstellen pro Halbwelle sein, und nicht einfach 2 Stützstellen pro Vollwelle

Es sind 3 Stützstellen pro Vollwelle.
Wenn fs = f ist dann kann es passieren alle Nulldurchgänge zu erwischen.
Ist fs kleiner erwischt man ausreichend Nichtnullstellen.

Jens, wenn Du die ganze Zeit von dieser Theorie ausgegangen bist, daß 2 Stützstellen gleichbedeutend sind mit 2 Abtastungen der ganzen Periode, dann ist Dein Denkansatz falsch. Dann könnte es nämlich genauso sein, daß die beiden Abtastungen (bei einem Sinus) genau den Scheitelwert erwischen, das würde dann heißen, daß ftakt = fnutz ist und damit das Abtasttheorem total verletzt ist. Nochmals: Es müssen 2 Abtastungen pro HALBWELLE sein. Dann könnte die eine Abtastung bei 0°, die nächste bei 90°, die übernächste bei 180° sein u.s.w.
Und dann wird auch eine interaurale Phasendifferenz korrekt wiedergegeben.
Wahrscheinlich fußt Deine Rechnung mit der viertel Abtastfrequenz auf diesem Denkfehler.

MfG
Rainer

Nebenbei: Ich hatte über's WE keine Zeit ins Forum zu sehen, wegen termingebundene Aufnahmen.

"Man mache doch mal eine einfache Rechnung und multipliziere zwei Sinusfunktionen miteinander wobei die eine ein neben dem jomega noch einen Phasenwinkel im Argument stehen hat: Es zeigt sich, daß (entgegen Jens' Behauptung) der Phasenwinkel voll erhaltn bleibt."
Entgegen welcher Behauptung? Bei genügend Stützstellen pro Periode ist das klar der Fall.
Aber sich das anhand der Multiplikation zweier Sinuswellen klar zu machen, ist aus mehreren Gründen falsch:
- Die Abtastung geschieht nicht mittels einer Sinuswelle, sondern mit einer Funktion vom Maß 0.
- Die (mathematische) Sinuswelle ist unendlich ausgedehnt (wie ich schon öfter schrieb, gilt für unendliche usw. Systeme das Shannon-Theorem sehr wohl - da habe ich nie(!) das Gegenteil behauptet).
- Die Multiplikation zweier mathematischer Funktionen ist akausal.
Jens

Hallo Rainer.
Jetzt verblüffst du mich aber doch sehr.
"Jens, wenn Du die ganze Zeit von dieser Theorie ausgegangen bist, daß 2 Stützstellen gleichbedeutend sind mit 2 Abtastungen der ganzen Periode, dann ist Dein Denkansatz falsch."
MEINER? Lies doch bitte nochmal in deinen Unterlagen dein Wissen nach, was das Abtast-Theorem angeht. Nach Shannon/Nyquist ist die Grenzfrequenz (Nyquistfrequenz) genau die halbe Samplingfrequenz. Wir sind uns einig, dass GENAU bei der Nyquistfrequenz das Abtasttheorem verletzt ist. Aber dieser Fall entspricht einer Abtastung exakt zweimal pro Periode, nicht viermal.
Bei Sampling mit 44,1kHz wird der Fall, dass man vier Stützstellen pro Periode erhält, erst bei einem 11,025kHz-Sinus erreicht. Die Schah-Funktion, die als Abtast-Pulszug hergenommen wird, hat nämlich pro Periode nur einen Peak, nicht zwei.
"Dann könnte es nämlich genauso sein, daß die beiden Abtastungen (bei einem Sinus) genau den Scheitelwert erwischen, das würde dann heißen, daß ftakt = fnutz ist und damit das Abtasttheorem total verletzt ist."
Das ist ja nun in die andere Richtung falsch gedacht. Wenn ich jeweils die Scheitelwerte erwische (Maximum-Minimum-Maximum-usw.), dann ist trotzdem immer noch ftakt=2*fnutz - genau der klassische Grenzfall des Shannon-Theorems. Also der Punkt, wo das Theorem GERADE SO verletzt wird.
"Nochmals: Es müssen 2 Abtastungen pro HALBWELLE sein. Dann könnte die eine Abtastung bei 0°, die nächste bei 90°, die übernächste bei 180° sein u.s.w.
Und dann wird auch eine interaurale Phasendifferenz korrekt wiedergegeben."
Richtig. Das ist der Fall bei der halben Nyquistfrequenz.
"Wahrscheinlich fußt Deine Rechnung mit der viertel Abtastfrequenz auf diesem Denkfehler."
Prüfe doch bitte erstmal deine eigenen Denkfehler, bevor du beharrlich anderen die Denkfehler vorwirfst. Dein Beispiel (Abtastung bei 0, 90°, 180°, 270° usw.) erfordert eine Abtastung mit der vierfachen Frequenz des Beispielsignals.
Jens

Entweder hast Du wirklich einen Blackout (kann ja bei jedem mal vorkommen) oder Du hast es nie verstanden oder Du willst mich nicht verstehen.
Nochmal der Reihe nach: 20 kHz hat 2 Halbperioden und 40 kHz hat 4 Halbperioden während einer ganzen 20 kHz-Schwinung. Jede Halbperiode der 20 kHz muß (wenn das Abtasttheorem gerade noch erfüllt sein soll) 2 mal abgetastet werden. Und das geschieht bei 40 kHz gerade noch. Die negative Halb"welle" der Abtastschwingung tastet ebenfalls ab! Also erfolgen je Halbwelle der 20 kHz 2 Abtastungen und damit ist die Schwingung in Amplitude und Phase voll reproduzierbar.
In der Praxis ist aber fabt etwas größer als die obere Grenzfrequenz des Systems. Im Beispiel mit der CD: 20 kHz als fo und 44,1 kHz als fs (2,205 x fo) und somit ist auch 20 kHz in Amplitude und Phase voll reproduzierbar.
Ein Tip (hat mir mein Lehrmeister und mein Vater beigebracht): Bei schwer vorstellbaren Sachen ZEICHNUNG machen!. Ich mache das heute noch so und es hilft auch i.d.R. das Verständnis zu nähren.
Zeichne Dir dann mal 2 Sinuskurven untereinander wobei die untere die halbe Periodendauer der oberen hat und dann nimm von der unteren nur die Maximalwerte als Dirac-Pulse und setze diese als Abtastpulse in die obere. Dann wirst Du sehen, daß jede Halbwelle 2 mal abgetastet wird und der Fall, daß nur die Nulldurchgänge erfaßt werden niemals vorkommen kann, egal wie Du die Abtastimpulse relativ zu der Nutzwelle verschiebst.

MfG
Rainer

Tag Rainer.
Der erste Satz von dir ist sehr richtig: Es kann bei jedem Mal passieren, dass er einen Blackout hat, nur scheint das hier wirklich bei dir der Fall zu sein.
Gut ist auch der einfacheren Rechnung wegen, dass wir jetzt mal 40kHz statt der üblichen 44,1kHz betrachten.
"Nochmal der Reihe nach: 20 kHz hat 2 Halbperioden und 40 kHz hat 4 Halbperioden während einer ganzen 20 kHz-Schwinung."
Soweit richtig.
"Jede Halbperiode der 20 kHz muß (wenn das Abtasttheorem gerade noch erfüllt sein soll) 2 mal abgetastet werden. "
Nein, nach Abtasttheorem muss gerade eben nur geringfügig öfter als zweimal pro Vollperiode abgetastet werden. Lies es bitte nochmal bei Shannon und Nyquist nach.
"Die negative Halb"welle" der Abtastschwingung tastet ebenfalls ab!"
Völlig falsch! Es wird nicht mit einer Sinusschwingung abgetastet, sondern mathematisch mit einer normierten Diracstoß-Folge, auch bekannt als Schah-Funktion. Die Diracstöße haben einen Abstand von 1/Samplefrequenz, in diesem Beispiel also 1/40kHz=25µs. Die Periodendauer eines 20kHz-Sinus (Vollperiode!) ist 50µs.
In der Realität wird nicht mit einer Schah-Funktion abgetastet, sondern alle 25µs (22,7µs bei 44,1kHz) ein Wert in das S/H-Glied übernommen und ausgelesen. Schau dir die Datenrate einer CD bzw. eines 44,1kHz Wave-Files an, wenn du mir nicht glaubst (nicht vergessen, Mono/Stereo zu berücksichtigen).
Die Dateigröße ist exakt (bis auf Header) Spieldauer in Sekunden mal Anzahl der Kanäle mal 16 bit mal 44100. Es wird pro Periode der Samplingfrequenz exakt EIN Sample gelesen! Nicht zwei.
"Also erfolgen je Halbwelle der 20 kHz 2 Abtastungen und damit ist die Schwingung in Amplitude und Phase voll reproduzierbar."
Ich sagte ja schon, wenn wirklich viermal pro Vollperiode abgetastet wird (ist in der Realität gegeben unterhalb ca. 11kHz), dann werden selbstredend Amplituden und Phasen richtig abgebildet. Darüber nur theoretisch bis fNy, praktisch nicht oder nur näherungsweise oder unter Zuhilfenahme von "Tricks" wie Oversampling und digitale "vorauslesende" Filter.
"Ein Tip (hat mir mein Lehrmeister und mein Vater beigebracht): Bei schwer vorstellbaren Sachen ZEICHNUNG machen!. Ich mache das heute noch so und es hilft auch i.d.R. das Verständnis zu nähren."
Ein sehr guter Tipp. Mach es selbst auch mal und vergiss die "Sinusabtastung", verwende statt dessen die in der Theorie wie auch (näherungsweise) in der Praxis verwendete Diracstoßfolge. Wenn du nicht selbst malen willst, siehst du auch hier ein paar schöne Bilder, die auch die Amplituden- und Phasenuntreue zeigen: http://einstein.informatik.uni-oldenburg.de/rechnernetze/digitale.htm
"Zeichne Dir dann mal 2 Sinuskurven untereinander wobei die untere die halbe Periodendauer der oberen hat und dann nimm von der unteren nur die Maximalwerte als Dirac-Pulse und setze diese als Abtastpulse in die obere. Dann wirst Du sehen, daß jede Halbwelle 2 mal abgetastet wird und der Fall, daß nur die Nulldurchgänge erfaßt werden niemals vorkommen kann, egal wie Du die Abtastimpulse relativ zu der Nutzwelle verschiebst."
Richtig. Aber das entspricht weder der Realität, noch dem Sampling-Theorem.
Durch die Reihenentwicklung der Diracstoßfolge werden die negativen Halbwellen der 1.Ordnung eliminiert, und es gibt pro Periode nur einen Abtastpuls.
Das, was du beschreibst (Abtastung mit einem "gleichgerichteten" 40kHz-Sinus), entspricht einer Abtastung mit einer Rate von 80kHz.
Jens

Die Zeichnung ist falsch. Rainer sagte doch ausdrücklich, dass sowohl beim Maximum als auch beim Minimum abgetastet wird. In der Zeichnung wird nur beim Minimum abgetastet. Ich denke, darauf beruht dein Denkfehler.

Sollte natürlich heißen ..."nur beim *Maximum* abgetastet"...

Rainer, kann es sein, dass du diesmal auf dem Holzweg bist?
Eine Samplingfrequenz von 40kHz bedeutete, dass alle 0,025ms (1/40kHz) ein "Messwert" entnommen wird. Eine 20kHz-Schwingung wird daher zweimal pro Periode abgetastet. Wenn genau zum Nullpunkt, dann auch der mittlere Nullpunkt und wieder der nächste Nullpunkt, welcher aber schon zur nächsten Periode zählt. ist die Samplingfrequenz etwas größer als 40kHz, dann wird die 20kHz-Schwingung dreimal innerhalb einer Periode abgestastet. Einmal genau zum Nullpunkt, einmal kurz vor dem mittleren Nullpunkt und einmal kurz vor dem Beginn der nächsten Periode. Oder entsprechende verschoben, wenn die erste Abstastung eben nicht auf den Nullpunkt fällt.
Zwei eindeutige Punkte innerhalb einer Periode reichen aus.
Die Schwingung ist durch y = sin(wt+p) eindeutig beschrieben.
Die zwei Unbekannten sind w (Omega) bzw. 2*PI*f und die Phase p (Phi).
Es reichen zwei Pärchen (t,y) um diese eindeutig zu bestimmen.
Das ist ein lineares Gleichungssystem, wenn man den Arcus Sinus von y hat.
Gegeben: y1, t1, y2, t2
arcsin(y1) = w*t1 + p
arcsin(y2) = w*t2 + p

Der Denkfehler ist, dass bei negativer Halbwelle abgestastet wird.
Es wird alle 1/fs abgetastet, nicht öfter.

Tag Tobi.
"Die Zeichnung ist falsch. Rainer sagte doch ausdrücklich,...."
Nur hat Rainer nicht automatisch immer Recht. Deswegen sage ich ja: Nicht immer unreflektiert übernehmen, was einem erzählt wird, sondern mal selbst nachdenken.
Auch was in Büchern steht oder an Hochschulen gelehrt wird, ist nicht immer richtig.
Schlimm ist nur, wenn sich Fehler multiplizieren, weil sich alle auf eine fehlerhafte Referenz berufen (siehe 17cm vs. 17,5cm ORTF).
Jens

Ich übernehme sicher nicht unreflektiert was Rainer sagt. Ich dachte nur, du hättest es überlesen. Der Ton war vielleicht ein wenig doof, war aber nicht persönlich gemeint ;-)

Der Denkfehler ist, dass bei negativer Halbwelle abgestastet wird.
Es wird alle 1/fs abgetastet, nicht öfter.

Gut! Und DAS sollte zum Verständnis eigentlich genügen: "Es wird alle 1/fs abgetastet."
Dabei wird genau der dann jeweils angetroffene Momentanwert in einer S&H-Schaltung (sample and hold) "eingefroren" (und der A/D-Wandlung zugeführt), ohne Rücksicht darauf, ob er in einer positiven oder negativen Halbwelle liegt, oder ob zufällig mal ein Nulldurchgang, ein (lokales) Maximum oder Minimum dabei erfasst wurde.
MfG -kln